Cách giải phương trình Đi-ô-phăng rất phong phú. Tuy vậy có thể rút ra một số cách giải chung tùy thuộc vào dạng của chúng.

Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính

Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính có dạng

a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c}

Tùy thuộc vào mối quan hệ giữa ƯCLN(a,b) và c mà suy ra số nghiệm của phương trình:

nếu c không chia hết cho ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho vô nghiệm;nếu c = ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho có vô số nghiệm;nếu c chia hết cho ƯCLN (a,b) và lớn hơn ƯCLN(a,b) thì phương trình đã cho cũng có vô số nghiệm.

Muốn biết chi tiết hơn về cách giải phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính xin xem ở bài giải thuật Euclid mở rộng.

Phương trình Pell

Phương trình Pell có dạng chính tắc là

x 2 − d y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1} .

Bộ ba Pytago

Bộ ba Pytago là nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}

Định lý lớn Fermat

Đây có lẽ là phương trình Đi-ô-phăng nổi tiếng nhất, và được nghiên cứu nhiều nhất.

Bài toán được phát biểu rất đơn giản,

Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Xem thêm ở Định lý lớn Fermat

Một số dạng và phương pháp khác

1) Đưa phương trình (*) về dạng f1(x1;x2;x3;...;xn).f2(x1;x2;x3;...;xn).f3(x1;x2;x3;...;xn)...fn(x1;x2;x3;...;xn)=a

khi đó .) f1(x1;x2;x3;...;xn)=a1

.) f2(x1;x2;x3;...;xn)=a2

.) f3(x1;x2;x3;...;xn)=a3

...

.) fn(x1;x2;x3;...;xn)=an

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3xy+y+x=6

Giải: viết phương trình trên về dạng

3(3xy+y)+ 3x+1= 19hay3y(3x+1)+ 3x+1= 19hay(3y+1)(3x+1)= 19 (1)do đó 3y+1; 3x+1 ∈ {\displaystyle \in } Ư(19)= {1;-1;19;-19}x,y ∈ {\displaystyle \in } Z và thỏa (1)nên (x;y)=(0;6);(6;0)

2) Sử dụng một số tính chất của số nguyên:

• Ví dụ 1)tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2008 x 2009 + 2009 y 2010 = 2011 {\displaystyle 2008x^{2009}+2009y^{2010}=2011}